Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂的直线与该双曲线的右支交于A、B两点，若△ABF₁的周长为30，则点F₁与以AB为直径的圆的位置关系为（　　）

• A． 在圆外
• B． 在圆上
• C． 在圆内
• D． 无法确定

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，设|AF₂|=m，|BF₂|=n，运用双曲线的定义求得|AF₁|，|BF₁|，由题意可得|AB|=11，考虑双曲线的垂直于x轴的弦的长度，比较AB的中点与点F₁的距离与AB的一半的大小关系，即可得到结论．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=2，b=3，c=$\sqrt{13}$，
设|AF₂|=m，|BF₂|=n，
由双曲线的定义可得|AF₁|=2a+m=4+m，|BF₁|=2a+n=4+n，
由题意可得△ABF₁的周长为|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=30，
即有8+2（m+n）=30，即为m+n=11，即|AB|=11，
又x=c=$\sqrt{13}$，解得y=±3$\sqrt{\frac{13}{4}-1}$=±$\frac{9}{2}$，
即有过F₂垂直于x轴的弦长为9，
则F₁到AB的中点的距离d＞2c=2$\sqrt{13}$＞$\frac{11}{2}$，
可得点F₁与以AB为直径的圆的位置关系为在圆外．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用和点与圆的位置关系的判断，考查运算求解能力，属于中档题．