Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$为常数，则称数列{a_n}为“吉祥数列“，己知等差数列{b_n}的首项为1，公差不为0，若数列{b_n}为“吉祥数列“，则数列{b_n}的通项公式为（　　）

• A． b_n=n-1
• B． b_n=2n-1
• C． b_n=n+1
• D． b_n=2n+1

Answer 1

分析 设等差数列{b_n}的公差为d（d≠0），再设$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，由b₁=1，得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．结合对任意正整数n上式恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，由此能求出数列{b_n}的公差，代入等差数列的通项公式得答案．

解答 解：设等差数列{b_n}的公差为d（d≠0），
由$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，且b₁=1，
得n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=k[2n+$\frac{1}{2}$2n（2n-1）d]，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
∵对任意正整数n上式恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴数列{b_n}的公差为2，
则其通项公式为b_n=1+2（n-1）=2n-1，
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的前n项和，考查了恒成立思想的运用，考查了计算能力，属中档题．