Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB．
（I）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：平面BOE⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）由OB∥AD，OE∥PA可知平面OBE∥平面PAD，故而BE∥平面PAD；
（2）由OE⊥平面ABCD可得CD⊥OE，由圆周角定理得CD⊥AD，于是CD⊥OB，故而CD⊥平面OBE，所以平面BOE⊥平面PCD．

解答 证明：（1）∵O，E分别是AC，PC的中点，
∴OE∥PA，
∵∠DAC=∠AOB，
∴AD∥OB，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，OB?平面BOE，OE?平面BOE，OB∩OE=O，
∴平面PAD∥平面BOE，∵BE?平面BOE，
∴BE∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵PA∥OE，
∴OE⊥CD．
∵AC是圆O的直径，∴AD⊥CD，
∵AD∥OB，∴CD⊥OB，
又OB?平面BOE，OE?平面BOE，OB∩OE=O，
∴CD⊥平面BOE，又CD?平面PCD，
∴平面BOE⊥平面PCD．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质与判定，属于中档题．