Question

7．下列命题中正确的是②③④．（填上你认为正确的所有命题的序号）
①空间中三个平面α，β，γ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；
②若a，b，c为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与a，b，c都相交；
③球O与棱长为a的正四面体各面都相切，则该球的表面积为$\frac{π}{6}$a²；
④三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB．

Answer 1

分析 以直三棱锥为模型即可判断①错误；以平行六面体为模型可判断②正确；利用等体积法即可求出正四面体内切球的半径，继而得出内切球的面积；由线面垂直的判定与性质可证P在底面的投影为△ABC的垂心，根据线面垂直即可证出结论成立．

解答 解：对于①，以直三棱柱为模型，三棱柱的两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故①错误
对于②，在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，
作一个平行六面体ABCD-A′B′C′D′，如右图所示

在c上，即在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β
平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，
由面面平行的性质定理，得QR∥a，
于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交，得直线PR是与a，b，c都相交的一条直线
根据点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．故②正确．
对于③，设正三棱锥内切球心为O，半径为r，连结OP，OA，OB，OC．则球心O到各面的距离均为r．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{O-ABC}•r$×4=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•r×4$=$\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}r$．
∵三棱锥P-ABC为棱长为a的正四面体，∴棱锥的高h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{12}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}r$=$\frac{\sqrt{2}{a}^{3}}{12}$．
解得r=$\frac{\sqrt{6}a}{12}$．
∴内切球的面积S=4πr²=4$π×\frac{6{a}^{2}}{144}$=$\frac{π{a}^{2}}{6}$．故③正确．
对于④，过P作平面ABC的垂线PO，连结OA，OB，OC

则PO⊥BC，又PA⊥BC，故BC⊥平面PAO，于是BC⊥OA，
同理可证AC⊥OB，
所以O是△ABC的垂心，于是AB⊥CO，
又AB⊥PO，于是AB⊥平面PCO，所以PC⊥AB，故④正确．
故答案为②③④．

点评 本题考查了空间项目位置关系的判断，平面的性质，多面体与内切球的关系，属于中档题．