Question

2．利用C${\;}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，求1²+2²+3²+…+n²．

Answer 1

分析 由于C${\;}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$，可得n²=$2{∁}_{n}^{2}$+n．因此1²+2²+3²+…+n²=1+$2（{∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}+…+{∁}_{n}^{2}）$+（2+3+…+n），再利用${∁}_{n+1}^{m+1}={∁}_{n+1}^{m}+{∁}_{n+1}^{m-1}$及其等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵C${\;}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}n$，
∴n²=$2{∁}_{n}^{2}$+n．
∴1²+2²+3²+…+n²=1+$2（{∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}+…+{∁}_{n}^{2}）$+（2+3+…+n）
=1+$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$+2$（{∁}_{4}^{3}+{∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}）$
=1+$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$+2$（{∁}_{n}^{3}+{∁}_{n}^{2}）$
=1+$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$+2${∁}_{n+1}^{3}$
=1+$\frac{（n-1）（2+n）}{2}$+2×$\frac{（n+1）n（n-1）}{6}$
=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．