Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（常数a＞1）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，M、N是椭圆C上的两个不同动点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A（a，1），B（-a，1），满足k_OM•k_ON=k_OA•k_OB（k_OM表示直线OM的斜率），求|MN|取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（常数a＞1）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆γ上的两个动点，由条件得：$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，x₁x₂+y₁y₂=-2+1=-1，由此能求出|MN|．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（常数a＞1）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）∵M、N是椭圆C上的两个不同动点，O为坐标原点，
A（a，1），B（-a，1），满足k_OM•k_ON=k_OA•k_OB，
∴A（$\sqrt{2}$，1），B（-$\sqrt{2}$，1），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆γ上的两个动点，满足k_OM•k_ON=k_OA•k_OB，
由条件得：$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}$．
平方得：x₁²x₂²=4y₁²y₂²=（2-x₁²）（2-x₂²），即x₁²+x₂²=2-x₁²x₂²，
∴${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=2-$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2}$=1+$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{2}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{3-2（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$
=$\sqrt{3-{x}_{1}{x}_{2}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$
=$\sqrt{-\frac{1}{2}（{x}_{1}{x}_{2}+1）^{2}+\frac{5}{2}}$．
∴|MN|取值范围是[$\sqrt{2}$，2]．

点评 此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．