Question

11．函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2x+9}$（x＞0）的值域为（0，$\frac{1}{8}$]．

Answer 1

分析 由x＞0便可变形f（x）=$\frac{1}{x+\frac{9}{x}+2}$，而由基本不等式即可得出$x+\frac{9}{x}$的范围，从而可得出$\frac{1}{x+\frac{9}{x}+2}$的范围，即得出f（x）的值域．

解答 解：∵x＞0；
∴$f（x）=\frac{x}{{x}^{2}+2x+9}=\frac{1}{x+\frac{9}{x}+2}$；
∵$x+\frac{9}{x}≥6$，当x=3时取“=”；
∴$x+\frac{9}{x}+2≥8$；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{9}{x}+2}≤\frac{1}{8}$；
∴f（x）的值域为$（0，\frac{1}{8}]$．
故答案为：$（0，\frac{1}{8}]$．

点评 考查函数值域的概念及求法，基本不等式在求值域中的应用，应用基本不等式时要判断等号能否取到，以及不等式的性质．