Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥BC，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，M为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点E，使平面MCE⊥平面PBC？说明理由．

Answer 1

分析 （I）取PA中点N，则可证明四边形BCMN是平行四边形，故而CM∥BN，于是CM∥平面PAB；
（II）利用平面几何知识，证明CD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，故PA⊥CD，于是CD⊥平面PAC；
（III）当E为AD中点时，可证BC⊥CE，ME⊥BC，故而BC⊥平面MCE，于是MCE⊥平面PBC．

解答 证明：（I）取PA的中点N，连接MN、BN，
则MN∥AD，MN=$\frac{1}{2}$AD，
又∵BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}AD$，
∴MN∥BC，MN=BC，
∴四边形BCMN为平行四边形，
∴BN∥CM，
又∵BN?平面PAB，CM?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（II）在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，∠BAD=90°
过C作CH⊥AD于H，则CH=AB=1，AH=BC=1，
∴DH=1．AC=CD=$\sqrt{2}$．
∵AC²+CD²=AD²，∴CD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA．
∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
（III）当E为AD的中点时，平面MCE⊥平面PBC．
由（II）可知H为AD的中点，此时E与H重合．连结ME，
∵M，E分别是PD，AD的中点，
∴ME∥PA，∵PA⊥平面ABCD，
∴ME⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，
∴BC⊥ME，又∵BC⊥CE，CE?平面MCE，ME?平面MCE，CE∩ME=E，
∴BC⊥平面MCE，∵BC?平面PBC，
∴平面MCE⊥平面PBC．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直，面面垂直的判定，构造平行线与垂线是解题关键．