Question

19．设数列{a_n}满足：a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=${log}_{\sqrt{2}}$a_n，数列{a_nb_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）b_n=${log}_{\sqrt{2}}$a_n=2n，可得a_nb_n=n•2ⁿ⁺¹，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2n，n∈N^*．
∴当n=1时，a₁=2；n≥2时，a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-2}}$=2（n-1）．可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2，∴a_n=2ⁿ．
当n=1时也成立，∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=${log}_{\sqrt{2}}$a_n=2n，
∴a_nb_n=n•2ⁿ⁺¹，
∴数列{a_nb_n}的前n项和为S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2S_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．