Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₁₀等于（　　）

• A． 63
• B． 93
• C． 126
• D． 1023

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N，n=1时得a₂=2．n≥2时，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=2．因此数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等比数列，公比为2．利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N，
∴n=1时，1×a₂=2，解得a₂=2．
n≥2时，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，
∴a_n+1=2a_n-1．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等比数列，公比为2．
∴S₁₀=（1+2+2²+2³+2⁴）+（2+2²+…+2⁵）
=$\frac{{2}^{5}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{5}-1）}{2-1}$
=3×（2⁵-1）
=93．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．