Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）+b（ω＞0）的最小正周期为π，最大值为2$\sqrt{2}$．
（1）求实数ω，b的值，并写出相应的f（x）的解析式；
（2）是否存在x∈[0，π]，满足f（x）=2$\sqrt{2}$，若存在，求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）求函数F（x）=f（x）-f（x-$\frac{π}{4}$）的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的最小正周期与最大值，直接写出ω、b的值，得出f（x）的解析式；
（2）令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$求出x的值，判定是否满足f（x）=2$\sqrt{2}$即可；
（3）化简函数F（x），根据三角函数的有界性求出它的最大、最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）+b（ω＞0）的最小正周期为π，最大值为2$\sqrt{2}$；
∴ω=2，b=$\sqrt{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$；
（2）当x∈[0，π]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，
∴x∈[0，π]时，能满足f（x）=2$\sqrt{2}$；
令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{8}$，此时f（x）=2$\sqrt{2}$；
（3）函数F（x）=f（x）-f（x-$\frac{π}{4}$）
=[$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$]-[$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$]
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$（sin2xcos$\frac{π}{4}$+cos2xsin$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{2}$（sin2xcos$\frac{π}{4}$-cos2xsin$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$cos2xsin$\frac{π}{4}$
=2cos2x，
∴F（x）的最大值2、最小值-2．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的化简与运算问题，是基础题目．