Question

6．已知数列{a_n}中a₁+a₂+a_3+…+a_n=2ⁿ-1，求a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²的值．

Answer 1

分析 由a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，求出数列{a_n}是首项是1，公比是2的等比数列，进一步得到数列{a_n2}是等比数列，应用等比数列的前n项和公式得到结果．

解答 解：由a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，得${S}_{n}={2}^{n}-1$，
当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{2}^{n}-1）-（{2}^{n-1}-1）$=2^n-1，
验证n=1时成立，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，
则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}=2$，
∴数列{a_n}是首项是1，公比是2的等比数列，
则数列{a_n2}是首项是1，公比是4的等比数列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}=\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．