Question

11．已知△ABC不是直角三角形，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．

Answer 1

分析 由题意可得各个正切有意义，由两角和的正切公式变形可得tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），整体代入式子坐标由诱导公式化简可得．

解答 证明：∵△ABC不是直角三角形，
∴A、B、C均不为直角，
且A+B+C=π，任意两角和不为$\frac{π}{2}$，
由两角和的正切公式可得tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
=tan（π-C）（1-tanAtanB）
=-tanC（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC
=-tanC（1-tanAtanB）+tanC
=tanAtanBtanC．

点评 本题考查两角和与差的正切函数公式，变形用并整体代入是解决问题的关键，属中档题．