Question

8．设平面向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$满足|$\overrightarrow{OA}$|=2、|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，点P满足$\overrightarrow{OP}=\frac{m}{{\sqrt{2{m^2}+2{n^2}}}}\overrightarrow{OA}+\frac{{\sqrt{2}n}}{{\sqrt{{m^2}+{n^2}}}}\overrightarrow{OB}$，其中m≥0，n≥0，则点P所表示的轨迹长度为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}π}}{2}$

Answer 1

分析 根据条件可得到OA⊥OB，从而可分别以OA，OB为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，从而可以得到$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OB}=（0，1）$，从而可得出向量$\overrightarrow{OP}$的坐标，可设P（x，y），从而可得到x²+y²=2（x≥0，y≥0），这样即可求出点P所表示的轨迹长度．

解答 解：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$；
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴分别以OA，OB为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A（2，0），B（0，1）；
∴$\overrightarrow{OA}=（2，0），\overrightarrow{OB}=（0，1）$；
∴$\overrightarrow{OP}=（\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}，\frac{\sqrt{2}n}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}）$，设P（x，y），$\overrightarrow{OP}=（x，y）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}m}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}}\\{y=\frac{\sqrt{2}n}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}}\end{array}\right.$；
∴x²+y²=2，（x≥0，y≥0）；
∴P点的轨迹表示以原点为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆在第一象限的部分；
∴点P所表示的轨迹长度为$\frac{1}{4}•2π•\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$．
故选D．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数乘运算，圆的标准方程，圆的周长公式．