以直角坐标系的原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点M的直角坐标为(1.0).若直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}$ρcos-1=0.曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$．(1)求直线l和曲线C的普通方程,(2)设直线l与曲线C交于A.B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-1=0，曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$．

分析（Ⅰ）直线l的极坐标方程化为ρcosθ-ρsinθ-1=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直线l的普通方程；曲线C的参数方程消去参数能求出曲线C的普通方程．
（Ⅱ）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，求出直线l的参数方程，得到${t}^{2}-4\sqrt{2}t-8=0$，由此利用韦达定理能求出$\frac{1}{|MA|}+\frac{1}{|MB|}$的值．

解答解：（Ⅰ）因为$\sqrt{2}\;ρcos（θ+\frac{π}{4}）-1=0$，
所以ρcosθ-ρsinθ-1=0
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x-y-1=0…（3分）
因为$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$消去t得y²=4x，
所以直线l和曲线C的普通方程分别为x-y-1=0和y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，
设直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），A，B对应的参数为t₁，t₂．
${t}^{2}-4\sqrt{2}t-8=0$，
${t}_{1}+{t}_{2}=4\sqrt{2}，{t}_{1}{t}_{2}=-8$，…（7分）
∴$\frac{1}{|MA|}+\frac{1}{|MB|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{32+32}}{8}$=1．…（10分）

点评本小题主要考查参数方程、极坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

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