Question

若a，b，c∈R₊，abc=1．求证

1

a3(b+c)

+

1

b3(c+a)

+

1

c3(a+b)

≥

3

2

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：本题涉及基本不等式，需要构造三元函数，经过特殊化处理后，转化为二元函数，再通过换元，得到一元函数，求出导函数研究最值，得到本题的解．

解答： 解：设三元函数f(a，b，c)=

1

a3(b+c)

+

1

b3(c+a)

+

1

c3(a+b)

，
当a=b=c=1时，f(a，b，c)=

3

2

≥

3

2

．原命题成立．
∵a，b，c∈R₊，abc=1，
∴a、b、c中至少有一个不大于1．
不妨设b≤1．
f(a，b，c)-f(a，1，c)=

1

a3(b+c)

+

1

b3(c+a)

+

1

c3(a+b)

-[

1

a3(1+c)

+

1

(c+a)

+

1

c3(a+1)

]=

1-b

a3(b+c)(1+c)

+

1-b3

b3(c+a)

+

1-b

c3(a+b)(a+1)

≥0
∴f（a，b，c）≥f（a，1，c）．
要证f(a，b，c)≥

3

2

，只要证f(a，1，c)≥

3

2

．
此时，ac=1，设a=

1

q

，c=q（q＞0）．
f(a，1，c)=

1

( 1 q )3(1+q)

+

1

1 q +q

+

1

q3( 1 q +1)

=

q3

1+q

+

1

q2(1+q)

+

1

q+ 1 q

=

q5+1

q2(1+q)

+

1

q+ 1 q

∵q⁵-1=（q+1）（q⁴-q³+q²-q+1）
∴f(q，1，c)=q2-q+1-

1

q

+

1

q2

+

1

q+ 1 q

=(q+

1

q

)2-(q+

1

q

)+

1

q+ 1 q

-1
设t=q+

1

q

，g(t)=t2-t+

1

t

-1．
∵t≥2，
∴g′(t)=2t+1-

1

t2

=

2t3+t2-1

t2

＞0，
∴g（t）在[2，+∞）单调递增．
∴g(t)≥g(2)=

3

2

．
故f(a，b，c)≥f(a，1，c)≥

3

2

．
原命题得证．

点评：本题构造了三元函数，通过化归转化，最后得到了一元函数，利用导函数，求出最值，得到本题结论．本题思维要求高，运算难度大，属于难题．