Question

如图，已知A₁，A₂，B₁，B₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四个顶点，△A₁B₁B₂是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M．
（1）求椭圆C及圆M的方程；
（2）若点D是圆M劣弧

A1B2

上一动点（点D异于端点A₁，B₂），直线B₁D分别交线段A₁B₂，椭圆C于点E，G，直线B₂G与A₁B₁交于点F．
（Ⅰ）求

GB1

EB1

的最大值；
（Ⅱ）试问：E，F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件求出椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，由此能求出圆M的方程．
（2）（Ⅰ）设直线B₁D的方程为y=kx-1，与直线A₁B₂的方程y=

3

3

x+1联立，解得点E（

2 3

3 k-1

，

3 k+1

3 k-1

），联立

y=kx-1 x2 3 +y2=1

，解得点G（

6k

3k2+1

，

3k2-1

3k2+1

，由此能求出

GB1

EB1

的最大值．
（Ⅱ）直线B₂G的方程为y=-

1

3k

x+1，与直线A₁B₁的方程y=-

3

3

x-1联立，解得点F（

-6k

3 k-1

，

3 k+1

3 k-1

），由此能求出E、F两点的横坐标之和为定值为-2

3

．

解答： 解：（1）由题意知，B₂（0，1），A1(-

3

，0)，
∴b=1，a=

3

，∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，…（2分）
圆心M（-

3

3

，0），半径A1M=

2 3

3

，
∴圆M的方程为（x+

3

3

）²+y²=

4

3

．…（4分）
（2）（Ⅰ）设直线B₁D的方程为y=kx-1，k＜-

3

3

，
与直线A₁B₂的方程y=

3

3

x+1联立，解得点E（

2 3

3 k-1

，

3 k+1

3 k-1

），…（6分）
联立

y=kx-1 x2 3 +y2=1

，消去y并整理得，（1+3k²）x²-6kx=0，
解得点G（

6k

3k2+1

，

3k2-1

3k2+1

），…（9分）

GB1

EB1

=

|xG|

|xE|

=

| 6k 3k2+1 |

| 2 3 3 k-1 |

=

3k2- 3 k

3k2+1

=1-

3 k+1

3k2+1

=1+

1

-( 3 k+1)+ 2 -( 3 k+1) +2

≤1+

1

2 2 +2

=

2 +1

2

，当且仅当k=-

6 + 3

3

时，取“=”，
∴

GB1

EB1

的最大值为

2 +1

2

．…（12分）
（Ⅱ）直线B₂G的方程为y=

3k2-1 3k2+1 -1

6k 3k2+1

x+1=-

1

3k

x+1，
与直线A₁B₁的方程y=-

3

3

x-1联立，
解得点F（

-6k

3 k-1

，

3 k+1

3 k-1

），…（14分）
∴E、F两点的横坐标之和为

2 3

3 k-1

+

-6k

3 k-1

=-2

3

．
故E、F两点的横坐标之和为定值，该定值为-2

3

．…（16分）

点评：本题考查椭圆方程及圆的方程的求法，考查两条线段比值的最大值的求法，考查两点横坐标之各为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．