Question

20．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）将直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）化为极坐标方程；
（2）设P是（1）中直线l上的动点，定点A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），B是曲线ρ=-2sinθ上的动点，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t，可得x+y=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为极坐标方程；
（2）定点A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化为A（1，1）．曲线ρ=-2sinθ化为ρ²=-2ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+（y+1）²=1．可得圆心C（0，-1）．连接AC交直线l于点P，交⊙C于点B，可得|PA|+|PB|的最小值=|AC|-r．

解答 解：（1）由直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t，可得x+y=$\sqrt{2}$，化为极坐标方程ρcosθ+ρsinθ=$\sqrt{2}$；
（2）定点A（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化为A（1，1）．
曲线ρ=-2sinθ化为ρ²=-2ρsinθ，∴直角坐标方程为：x²+y²=-2y，
配方为x²+（y+1）²=1．
可得圆心C（0，-1）．
连接AC交直线l于点P，交⊙C于点B，
|AC|=$\sqrt{{1}^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴|PA|+|PB|的最小值=|AC|-r=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为直角坐标方程、直线与圆相交问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．