Question

16．已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为（2，π）、$（a，\frac{π}{4}）$（a∈R），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$为参数）
（Ⅰ）若$a=2\sqrt{2}$，求△AOB的面积；
（Ⅱ）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）当$a=2\sqrt{2}$时，A（-2，0），B（2，2），由于k_OB=1，可得∠AOB=135°．利用S_△OAB=$\frac{1}{2}|OA||OB|sin13{5}^{°}$即可得出．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$为参数），化为（x-1）²+y²=4，圆心C（1，0），半径y=2．由题意可得：圆心到直线AB的距离为3，对直线AB斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（1）当$a=2\sqrt{2}$时，A（-2，0），B（2，2），
∵k_OB=1，∴∠AOB=135°．
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×sin135°=2$．
（2）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.（θ$为参数），化为（x-1）²+y²=4，圆心C（1，0），半径y=2．
∵点P到直线AB的最小值距离为1，
∴圆心到直线AB的距离为3，
当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=-2，
显然，符合题意，此时$a=-2\sqrt{2}$．
当直线AB存在斜率时，设直线AB的方程为y=k（x+2），
则圆心到直线AB的距离$d=\frac{|3k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
依题意有$\frac{|3k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=3$，无解．
故$a=-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形的面积计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．