Question

5．已知函数f（x）=$\frac{ln（ex）}{x}$，g（x）=$\frac{k}{x+1}$（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别解不等式f′（x）＞0及f′（x）＜0即得单调区间；
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）变形后等价于不等式k≤$（1+\frac{1}{x}）（1+lnx）$=h（x） （x≥1），故只需判断出函数h（x）的单调性，解不等式k≤h（x）_min即可得k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=$\frac{1-lnex}{{x}^{2}}$=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得0＜x＜1；
由f′（x）＜0得x＞1；
所以函数y=f（x）的单调增区间为：（0，1），单调减区间为：（1，+∞）；
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）恒成立
?不等式$\frac{1+lnx}{x}≥\frac{k}{x+1}$恒成立
?不等式$k≤\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$恒成立，
令h（x）=$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$=$（1+\frac{1}{x}）（1+lnx）$ （x≥1），则k≤h（x）_min，
因为$h′（x）=\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，记φ（x）=x-lnx （x≥1），则h′（x）与φ（x）同号，
∵φ′（x）=$\frac{x-1}{x}$≥0 （当且仅当x=1时取等号），∴φ（x）在[1，+∞）上递增，
所以φ（x）≥φ（1）=1＞0，即h′（x）＞0，
所以h（x）在[1，+∞）上递增，
所以h（x）_min=h（1）=2，从而k≤2．

点评 本题利用导数求单调区间以及解不等式，通过合理的变形判断出单调性是解题的关键，属于中档题．