Question

17．直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{3}t\\ y=t\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C的公共点为M．
（Ⅰ）求点M的极坐标；
（Ⅱ）经过M点的直线l'被曲线C截得的线段长为2，求直线l'的极坐标方程．

Answer 1

分析 （I）求出曲线C的直角坐标方程，然后求解点M的坐标为$（1，\sqrt{3}）$，转化为极坐标．
（II）设直线l'的方程，求出曲线C的圆心，且圆心到直线l'的距离为$\sqrt{3}$，列出方程，即可求解k，得到直线方程．然后转化为极坐标方程．

解答 解：（I）曲线C的直角坐标方程为x²-4x+y²=0，
将$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\sqrt{3}t\\ y=t\end{array}\right.$代入上式并整理得${t^2}-2\sqrt{3}t+3=0$，解得$t=\sqrt{3}$，
∴点M的坐标为$（1，\sqrt{3}）$，其极坐标为$（2，\frac{π}{3}）$；…（5分）
（II）设直线l'的方程为$y-\sqrt{3}=k（x-1），即kx-y+\sqrt{3}-k=0$，
由（I）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为$\sqrt{3}$，
则，$\frac{{|{\sqrt{3}+k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{3}$．解得k=0，或$k=\sqrt{3}$，
直线l'的方程为$y=\sqrt{3}$，或$y=\sqrt{3}x$，
其极坐标方程为$ρsinθ=\sqrt{3}或θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）． …（10分）

点评 本题考查极坐标以及成都房产与直角坐标方程的互化，基本知识的考查．