Question

20．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0），则x²+y²=c²与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若$\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FA}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 由题意，y=$\frac{b}{a}$x与x²+y²=c²联立，可得A（a，b），求出AF的斜率，利用$\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FA}$，B为线段FA的中点，可得斜率之间的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，y=$\frac{b}{a}$x与x²+y²=c²联立，可得A（a，b），
∴AF的斜率为$\frac{b}{a+c}$，
∵$\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FA}$，
∴B为线段FA的中点，
∴OB⊥AF，
∴$\frac{b}{a+c}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，
∴e²-e-2=0，
∵e＞1，
∴e=2．
故选：A．

点评 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．