Question

18．已知|$\overrightarrow a$|=1，|$\vec b$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow a$，$\vec b$的夹角为135°，求|$\overrightarrow a$+$\vec b$|；
（2）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，求$\vec a•\vec b$．

Answer 1

分析 （1）由数量积的计算公式便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，从而得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$，从而便可得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$；
（2）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$便知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为0°，或180°，进行数量积的计算即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．

解答 解（1）∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为135°；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos135°=-1$；
∴${|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|^2}={（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）^2}={\overrightarrow a^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}$=1-2+2=1；
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=1$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则：
①若$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$同向，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos0°$=$\sqrt{2}$；
②若$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$反向，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos180°=-\sqrt{2}$；
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=±\sqrt{2}$．

点评 考查数量积的计算公式，向量$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的求法：先求$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$，两向量平行时的夹角有两个：0°或180°，不要只当成0°．