Question

如图，正四棱锥P-ABCD的高为PO，PO=AB=2．E，F分别是棱PB，CD的中点，Q是棱PC上的点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若PC⊥平面QDB，求PQ．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PA中点M，连结ME，MD，根据中位线的性质知ME∥AB，DF∥AB，进而推断出ME∥DF，利用ME=

1

2

AB，DF=

1

2

AB，推断出ME=DF，进而可证明出四边形EFDM是平行四边形，知EF∥MD，最后由线面的判定定理证明出EF∥平面PAD．
（2）连结OQ，利用线面垂直性质推断出分别推断出PC⊥OQ，PO⊥OC，由正方形的边长得到OC，然后利用勾股定理求得PC，最后求得PQ．

解答： （1）证明：取PA中点M，连结ME，MD，
由条件，得ME∥AB，DF∥AB，
∴ME∥DF，
且ME=

1

2

AB，DF=

1

2

AB，
∴ME=DF，
∴四边形EFDM是平行四边形．
则EF∥MD，
由MD?平面PAD，EF不属于面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）连结OQ，
∵PC⊥平面QDB，OQ?平面QDB，
∴PC⊥OQ，
∵PO⊥平面ABCD，OC?平面ABCD，
∴PO⊥OC，
∵PO=2，
∴PC=

OP2+OC2

=

6

则PQ=PO•cos∠CPO=2•

2

6

=

2 6

3

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的性质和判定定理的运用．考查了学生空间观察能力和基础的综合运用．