Question

5．从抛物线Γ：x²=4y外一点P引抛物线Γ的两条切线PA和PB（切点为A，B），分别与x轴相交于C，D，若AB与y轴相交于点Q．
（Ⅰ）求证：四边形PCQD是平行四边形；
（Ⅱ）四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设A，B的坐标，求出切线PA，PB的方程，解出P点坐标，设Q坐标和直线AB方程，联立方程组得出P，Q点的坐标关系证明CD平分PQ，求出C，D坐标，得出CD的中点，代入PQ方程即可得出PQ平分CD，于是得出结论；
（II）若四边形PCQD能否为矩形，则|PQ|=|CD|，列方程解出k，t的关系得出Q坐标．

解答 解：（I）证明：由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，∴y′=$\frac{1}{2}$x．
设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
则直线PA的方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），①
直线PB的方程为y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂），②
由①、②解得x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$，
∴P点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$）．
设点Q（0，t），则直线AB的方程为y=kx+t．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$得x²-4kx-4t=0，则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4t，
∴P（2k，-t），∴线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分．
在①中，令y=0，解得x=$\frac{1}{2}$x₁，∴C（$\frac{1}{2}$x₁，0）；
同理得D（$\frac{1}{2}$x₂，0），
∴线段CD的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$，0），即（k，0）．
又∵直线PQ的方程为y=-$\frac{t}{k}$x+t，∴线段CD的中点（k，0）在直线PQ上，
即线段CD被线段PQ平分，
∴四边形PCQD是平行四边形．
（II）若四边形PCQD是矩形，则|PQ|=|CD|，
即$\sqrt{4{k}^{2}+4{t}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{k}^{2}+16t}$，
解得t=1．
∴当点Q为（0，1）（即抛物线Γ的焦点）时，四边形PCQD为矩形．

点评 本题考查了抛物线的方程和性质的运用，直线与抛物线的位置关系，注意运用联立方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．