Question

12．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$（{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}）⊥\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知条件结合向量垂直与数量积的关系可得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再由数量积求夹角公式求得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．

解答 解：∵$（{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}）⊥\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，
∴$（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
则$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$，
又＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞∈[0，π]，∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了斜向量垂直与数量积的关系，是中档题．