Question

2．如图O是等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（I）证明EF∥BC．
（II）若AG等于⊙O的半径，且$AE=MN=2\sqrt{3}$，求四边形EDCF的面积．

Answer 1

分析 （1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；
（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连接OE、OM，则OE⊥AE，利用S_△ABC-S_△AEF-S_△BED计算即可．

解答 （1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的角平分线，
又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，
又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，
连结OE、OM，则OE⊥AE，
由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，
∵AE=2$\sqrt{3}$，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，∴OD=1，
∴AD=5，AB=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，BD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
∴四边形EDCF的面积=$\frac{1}{2}×（\frac{10\sqrt{3}}{3}）^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}）^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{3}×sin6{0}^{°}$=$\frac{11\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、圆的性质、等边三角形的三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．