Question

10．已知抛物线E：y²=8x，圆M：（x-2）²+y²=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点的轨迹为曲线C．
（1）求抛物线C的方程；
（2）点Q（x₀，y₀）（x₀≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．求△QAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y）为轨迹上任意一点，则N（2x，2y），把N点坐标代入抛物线E的方程化简即可；
（2）设圆的切线斜率为k，得出切线方程，计算A，B的坐标，利用根与系数的关系计算|AB|，从而得出△QAB的面积关于x₀的函数，求出此函数的最小值即可．

解答 解：（1）设线段ON的中点坐标为P（x，y），则点N（2x，2y），
∵N为在抛物线y²=8x上的动点，
∴4y²=16x，即y²=4x，
∴曲线C的方程为：y²=4x．
（2）设切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），
令y=0，得x=x₀-$\frac{{y}_{0}}{k}$，
∴切线与x轴的交点为（x₀-$\frac{{y}_{0}}{k}$，0），圆心（2，0）到切线的距离为d=$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
∴（2k+y₀-kx₀）²=4（1+k²），
整理得：（x₀²-4x₀）k²+（4y₀-2x₀y₀）k+y₀²-4=0，
设两条切线的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}}$，
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$|（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{1}}$）-（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$）|•|y₀|=$\frac{1}{2}$y₀²|$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{{k}_{1}{k}_{2}}$|=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-1}$=2[（x₀-1）+$\frac{1}{{x}_{0}-1}$+2]
令x₀-1=t，则f（t）=t+$\frac{1}{t}$+2，t∈[4，+∞），
则f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在[4，+∞）上单调递增，
∴f（t）≥f（4）=$\frac{25}{4}$，∴S_△QAB=2f（t）≥$\frac{25}{2}$，
∴△QAB的面积的最小值为$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，常使用根与系数的关系进行化简计算，属于中档题．