Question

15．如图，已知正三棱柱ABC-A'B'C'棱长均为2，E为AB中点．点D在侧棱BB'上．
（Ⅰ）求AD+DC'的最小值；
（Ⅱ）当AD+DC'取最小值时，在CC'上找一点F，使得EF∥面ADC'．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将三棱柱的侧面展开，由题意知当D为BB′中点时，AD+DC′最小，由此能求出AD+DC′的最小值．
（Ⅱ）过点E作EM∥AD交BB′于M，M为BD中点，过点M作MF∥DC′交CC′于F，由面MEF∥面ADC′，得EF∥面ADC′．

解答 解：（Ⅰ）如图，将三棱柱的侧面展开，
由题意知当D为BB′中点时，AD+DC′最小，
最小值为d=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$．（4分）
（Ⅱ）过点E作EM∥AD交BB′于M，所以M为BD中点，（6分）
过点M作MF∥DC′交CC′于F，
∴${C}^{′}F=\frac{1}{2}$，（10分）
∵EM∩MF=M，
∴面MEF∥面ADC′，∴EF∥面ADC′．（12分）

点评 本题考查两线段和的最小值的求法，考查使直线与平面平行的点的位置的确定，空间问题转化为平面问题是解题关键，是中档题．