Question

6．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AA₁=2，AD=1，E为CC₁的中点且$AE=\sqrt{6}$，则异面直线BC₁与AE所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• C． $\frac{2\sqrt{15}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC₁与AE所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，2，0），C₁（0，2，2），A（1，0，0），E（0，2，1），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{AE}$=（-1，2，1），
设异面直线BC₁与AE所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线BC₁与AE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．