Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ADC=$\frac{π}{2}$，AB=AD=AP=3，DC=2，点M在PB上，且PM=2MB．
（1）证明：CM∥平面PAD；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过M作MO⊥AB，交AB于O，连结CO，推导出平面PAD∥平面MOC，由此能证明CM∥平面PAD．
（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角M-AC-B的余弦值．

解答 证明：（1）过M作MO⊥AB，交AB于O，连结CO，
∵PA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ADC=$\frac{π}{2}$，
AB=AD=AP=3，DC=2，点M在PB上，且PM=2MB，
∴MO∥PA，CO∥AD，
∵PA∩AD=A，MO∩CO=O，PA，AD?面PAD，
MO，CO?面MOC，
∴平面PAD∥平面MOC，
∵MC?面MOC，∴CM∥平面PAD；
解：（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），M（0，2，1），C（3，2，0），
$\overrightarrow{AM}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AC}$=（3，2，0），
设平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=3x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-3，6），
平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角M-AC-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{4+9+36}}$=$\frac{6}{7}$．
∴二面角M-AC-B的余弦值为$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．