Question

7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，$B={60°}，b=\sqrt{3}$．
（1）求a+c的最大值；
（2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，可得：（a+c）²=3ac+3，利用基本不等式可求3≥ac，从而可求a+c的最大值．
（2）由正弦定理可求$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2A-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由范围A∈（30°，90°），利用正弦函数的性质可求S_△ABC的范围．

解答 解：（1）∵$B={60°}，b=\sqrt{3}$，
∴由余弦定理，可得：3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，可得：（a+c）²=3ac+3，
又∵3=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时等号成立，
∴（a+c）²=3ac+3≤3×3+3=12，即a+c≤2$\sqrt{3}$，当且仅当a=c时等号成立，
∴a+c的最大值为$2\sqrt{3}$．
（2）∵$B={60°}，b=\sqrt{3}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB
=$\frac{1}{2}×$2sinA×2sinC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$sinAsinC
=$\sqrt{3}$sinAsin（120°-A）
=$\sqrt{3}$sinA[$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2A-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵A∈（30°，90°），可得：2A-30°∈（30°，150°），
∴sin（2A-30°）∈（$\frac{1}{2}$，1]，可得：S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2A-30°）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$∈$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{3\sqrt{3}}}{4}]$．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．