Question

17．若直线与圆x²+y²-2x-4y+a=0和函数$y=\frac{x^2}{4}$的图象相切于同一点，则a的值为3．

Answer 1

分析 设切点为（t，$\frac{{t}^{2}}{4}$），求出切线方程，利用直线与圆x²+y²-2x-4y+a=0和函数y=$\frac{{x}^{2}}{4}$的图象相切于同一点，建立方程，求出t，即可得出结论．

解答 解：设切点为（t，$\frac{{t}^{2}}{4}$），y′=$\frac{1}{2}x$，x=t时，y′=$\frac{1}{2}$t，
∴切线方程为y-$\frac{{t}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}t$（x-t），即y=$\frac{1}{2}$tx-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
∵一直线与圆x²+y²-2x-4y+a=0和函数y=$\frac{{x}^{2}}{4}$的图象相切于同一点，
∴$\frac{|\frac{1}{2}t-2-\frac{{t}^{2}}{4}|}{\sqrt{\frac{1}{4}{t}^{2}+1}}$=$\sqrt{（1-t）^{2}+（2-\frac{{t}^{2}}{4}）^{2}}$，∴t=2，
∴切点为（2，1），代入圆x²+y²-2x-4y+a=0，可得a=3，
故答案为3．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．