Question

15．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}$（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 将直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}$消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，带入ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）可得曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为$P（{1+\sqrt{2}cosα，1+\sqrt{2}sinα}）$，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．
法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得$\frac{{|{1+1+b}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，点到直线的距离公式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ） 由直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=1+t}\end{array}$消去t参数，得x+y-4=0，
∴直线l的普通方程为x+y-4=0．
由$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ-&\frac{π}{4}}）$=$2\sqrt{2}（{cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}}）=2cosθ+2sinθ$．
得ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ．
将ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，
得：曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．
（Ⅱ） 法1：设曲线C上的点为$P（{1+\sqrt{2}cosα，1+\sqrt{2}sinα}）$，
则点P到直线l的距离为$d=\frac{{|{1+\sqrt{2}cosα+1+\sqrt{2}sinα-4}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|{\sqrt{2}（{sinα+cosα}）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{|{2sin（{α+\frac{π}{4}}）-2}|}}{{\sqrt{2}}}$
当$sin（{α+\frac{π}{4}}）=-1$时，${d_{max}}=2\sqrt{2}$
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为$2\sqrt{2}$；
法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．
当直线l'与圆C相切时，得$\frac{{|{1+1+b}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，解得b=0或b=-4（舍去）．
∴直线l'的方程为x+y=0．
那么：直线l与直线l'的距离为$d=\frac{{|{0+4}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}$
故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．