Question

5．已知函数f（x）=|x-1|+|x-m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a²+a-4有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得$\left\{\begin{array}{l}-2×0+m+1=4\\ 2×4-m-1=4\end{array}\right.$，由此求得m的值．
（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a²+a-4，由此求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵m＞1，∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x+m+1，x＜1\\ m-1，1≤x≤m\\ 2x-m-1，x＞m\end{array}\right.$，
作出函数f（x）的图象，如图所示：
由f（x）＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}及函数图象，
可得$\left\{\begin{array}{l}-2×0+m+1=4\\ 2×4-m-1=4\end{array}\right.$，得m=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2x，x＜1}\\{2，1≤x≤3}\\{2x-4，x＞3}\end{array}\right.$，∴f（x）的最小值为2．
关于x的不等式f（x）＜a²+a-4有解，则2＜a²+a-4，即a²+a-6＞0，
即（a+3）（a-2）＞0，∴a＜-3，或a＞2，
实数a的取值范围{a|a＜-3，或a＞2 }．

点评 本题考查学生对绝对值不等式的理解与运用，考查学生对绝对值函数的运算求解能力，考查分类与整合、函数与方程思想和数形结合等思想．本题以绝对值函数为背景，设置学生熟悉的绝对值函数化为分段函数以及不等式求解问题，属于中档题．