Question

13．若正数m，n满足m+n+3=mn，不等式（m+n）x²+2x+mn-13≥0恒成立，则实数x的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-1}]∪[{\frac{2}{3}，+∞}）$
• B． $（{-∞，-1}]∪[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{\frac{1}{3}，+∞}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[{\frac{1}{6}，+∞}）$

Answer 1

分析 令m+n=a，则mn=a+3，即m、n是方程x²-ax+a+3=0的两个正实根，解得a的范围，不等式（m+n）x²+2x+mn-13≥0恒成立?不等式ax²+2x+a-10≥0在a≥6时恒成立．即函数f（a）=a（x²+1）+2x-10≥0在a∈[6，+∞）恒成立．

解答 解：令m+n=a，则mn=a+3，
故m、n是方程x²-ax+a+3=0的两个正实根，∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4a-13≥0}\\{a＞0}\\{a+3＞0}\end{array}\right.$，解得a≥6，
不等式（m+n）x²+2x+mn-13≥0恒成立?不等式ax²+2x+a-10≥0在a≥6时恒成立．
即函数f（a）=a（x²+1）+2x-10≥0在a∈[6，+∞）恒成立．
f（6）=6（x²+1）+2x-10≥0⇒x≥$\frac{2}{3}$或x≤-1．
故选：A．

点评 本题考查了函数恒成立问题，转化思想是解题的关键，属于难题．