Question

8．关于x的不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-x-2＞0}\\{2{x^2}+（2k+5）x+5k＜0}\end{array}}\right.$的解集为A，若集合A中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 求出第一个不等式的解，讨论k的范围得出第二个不等式的解，根据集合A中只含有一个整数得出第二个不等式解的端点的范围，从而得出k的范围．

解答 解：解不等式x²-x-2＞0得x＜-1或x＞2．
解方程2x²+（2k+5）x+5k=0得x₁=-$\frac{5}{2}$，x₂=-k．
（1）若-k$＜-\frac{5}{2}$即k$＞\frac{5}{2}$时，不等式2x²+（2k+5）x+5k＜0的解为-k＜x＜-$\frac{5}{2}$，
此时不等式组的解集为A=（-k，-$\frac{5}{2}$），
∵集合A中有且仅有一个整数，∴-4≤-k＜-3，解得3＜k≤4．
（2）若-k＞-$\frac{5}{2}$即k＜$\frac{5}{2}$时，不等式2x²+（2k+5）x+5k＜0的解为-$\frac{5}{2}$＜x＜-k，
此时不等式组的解集为A=（-$\frac{5}{2}$，-k）或A=（-$\frac{5}{2}$，-1）或A=（-$\frac{5}{2}$，-1）∪（2，-k），
∵集合A中有且仅有一个整数，∴-2＜-k≤3，解得-3≤k＜2．
综上，k的取值范围是（3，4]∪[-3，2）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，借助数轴可方便得出区间端点的范围，属于中档题．