Question

3．已知正项数列{a_n}，其前n项和为S_n，且a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由题意可得4S_n=（a_n+1）²，当n≥2时，S_n-S_n-1=a_n，4S_n=（a_n+1）²，①，n换为n-1可得4S_n-1=（a_n-1+1）²，②作差，化简整理可得a_n-a_n-1=2，{a_n}是等差数列，公差是2，求出a₁，a₂，可得所求通项公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，可得：
4S_n=（a_n+1）²，①
当n≥2时，S_n-S_n-1=a_n，
n换为n-1可得4S_n-1=（a_n-1+1）²，②
①-②可得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
由题意得到a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是等差数列，公差是2，
2$\sqrt{{a}_{1}}$=a₁+1，求得a₁=1，
故数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
可得数列{b_n}的前n项和为$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．