Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3n（n∈N₊）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）是否存在常数λ，使得{a_n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a_n，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3，依次计算a₁，a₂，a₃的值；
（2）假设存在常数λ，使得{a_n+λ}为等比数列，则（a₂+λ）²=（a₁+λ）（a₃+λ），从而可求得λ，再利用定义证明等比数列，得出{a_n+λ}的通项公式，从而得出a_n．

解答 解：（1）当n=1时，S₁=a₁=2a₁-3，解得a₁=3，
当n=2时，S₂=a₁+a₂=2a₂-6，解得a₂=9，
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃-9，解得a₃=21．
（2）假设{a_n+λ}是等比数列，则（a₂+λ）²=（a₁+λ）（a₃+λ），
即（9+λ）²=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．
下面证明{a_n+λ}为等比数列：
∵S_n=2a_n-3n，∴S_n+1=2a_n+1-3n-3，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n-3，
即2a_n+3=a_n+1，∴2（a_n+3）=a_n+1+3，
∴$\frac{{a}_{n+1}+3}{{a}_{n}+3}$=2，
∴{a_n+3}是首项为a₁+3=6，公比为2的等比数列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=6×2^n-1-3．

点评 本题考查了等比数列的性质与判断，等比数列的通项公式，属于中档题．