Question

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，椭圆C上的点到F的最大距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆C交于A、B两点，求△OAB（O为坐标原点）面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的焦点坐标，求得c，由a+c=3，则a=2，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性即可求得△OAB面积S的最大值．

解答 解：（1）由抛物线线上，y²=4x焦点坐标为（1，0），则c=1，
由椭圆C上的点到F的最大距离为a+c=3，则a=2，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：x=ky+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消x，整理得：（3k²+4）y²+6ky-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×1×|y₁-y₂|=$\frac{6\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+3{k}^{2}}$．
令k²+1=t（t≥1），
S_△OAB=$\frac{6\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{6}{3（t+\frac{1}{3t}）}$．
则f（t）=t+$\frac{1}{3t}$，（t≥1），f′（t）=1-$\frac{1}{3{t}^{2}}$=$\frac{3{t}^{2}-1}{3{t}^{2}}$，
∴f（t）在[1，+∞）单调递增，当t=1时，f（t）取最小值，最小值为$\frac{4}{3}$．
S_△OAB=$\frac{6}{3（t+\frac{1}{3t}）}$（t≥1），的最大值为$\frac{3}{2}$，
∴S_△OAB的最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，函数的单调性在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．