Question

9．已知命题p：方程x²-2mx+7m-10=0无解，命题q：x∈（0，+∞），x²-mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且p∧q也是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由p∨q是真命题，且p∧q也是真命题得：p与q两个都是真命题，然后求解p，q为真时参数m的范围求解交集，可得答案．

解答 解：当命题p为真时，有：△=（-2m）²-4（7m-10）＜0，
解得：2＜m＜5；
当命题q为真时，有：m≤$\frac{{x}^{2}+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$，对x∈（0，+∞）恒成立，
即m≤（x+$\frac{4}{x}$）_min，
而x∈（0，+∞）时，（x+$\frac{4}{x}$）_min=4，当x=2时取等号．
即m≤4，
由p∨q是真命题，且p∧q也是真命题得：p与q都是真命题；
即2＜m≤4，
综上，所求m的取值范围是（2，4]．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，方程根的个数判断，函数恒成立等知识点，难度中档．