Question

19．设 S_n是数列 {a_n}的前 n 项和，且a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1（n∈N^*）．
（1）求证数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为等差数列，并求S_n；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （1）${a_{n+1}}={S_n}{S_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，可得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，即可证明．
（2）由（1）可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：∵${a_{n+1}}={S_n}{S_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$为等差数列，公差为1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n．
∴S_n=-$\frac{1}{n}$．
（2）解：由（1）可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．