Question

18．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′直径，FB是圆台的一条母线．
（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥面ABC；
（2）已知$EF=FB=\frac{1}{2}AC=2$，AB=BC，求二面角F-BC-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设FC的中点为I，由三角形中位线定理可得GI∥EF∥OB，IH∥BC，再由面面平行的判定可得面GIH∥面ABC，进一步得到GH∥面ABC；
（2）连接OO'，则OO'⊥平面ABC，又AB=BC，且AC是圆O的直径，得BO⊥AC，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz（OA方向为x轴，OB方向为y轴，OO′方向为z轴，然后求出两个平面BCF与ABC的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求得二面角F-BC-O的余弦值．

解答 （1）证明：设FC的中点为I，由三角形中位线定理可得GI∥EF∥OB，IH∥BC，
∵GI∩IH=I，∴面GIH∥面ABC，
则GH∥面ABC；
（2）解：连接OO'，则OO'⊥平面ABC，
又AB=BC，且AC是圆O的直径，∴BO⊥AC，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz（OA方向为x轴，OB方向为y轴，OO′方向为z轴，
如图，
由题意得：B（0，2，0），C（-2，0，0），过点F作FM⊥OB于点M，
故FM=$\sqrt{F{B}^{2}-B{M}^{2}}=\sqrt{3}$，∴F（0，1，$\sqrt{3}$），
故$\overrightarrow{BC}=（{-2，-2，0}），\overrightarrow{BF}=（{0，-1，\sqrt{3}}）$，
设$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$是平面BCF的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x-2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$\overrightarrow n=（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}，1}）$，
又平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{OO'}=（{0，0，\sqrt{3}}）$，
故$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{OO'}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OO'}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{OO'}}|}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$，
二面角F-BC-O的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．