Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），若对任意实数x有f（x）＞f′（x），且y=f（x）-1的图象过原点，则不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减
∵f（x）＜e^x
∴g（x）＜1
∵y=f（x）-1的图象过原点，
∴f（0）=1
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案为（0，+∞）

点评 本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．