Question

5．设椭圆E：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且点M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线经过点M（-2，0）与椭圆E交于A，B两点，O为原点，试求△AOB面积最大值及此时的直线方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程为my=x+2，代入椭圆方程，运用韦达定理，求出|y₁-y₂|，由S_△AOB=S_△BOM-S_△AOM=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|，化简整理，再由换元法和基本不等式即可得到最小值和直线的方程．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²，a²=2b² ①，
又M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1）在椭圆上，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1 ②
解由①②组成的方程组得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1；    
（2）设直线l的方程为my=x+2，代入椭圆方程，消去x整理得
（2m²+1）y²-8my+6=0，由题意知，△＞0?2m²-3＞0   ③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得，y₁+y₂=$\frac{8m}{1+2{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{6}{1+2{m}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{64{m}^{2}}{（1+2{m}^{2}）^{2}}-\frac{24}{1+2{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2{m}^{2}-3}}{1+2{m}^{2}}$，
于是S_△AOB=S_△BOM-S_△AOM=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2{m}^{2}-3}}{1+2{m}^{2}}$，
令t=$\sqrt{2{m}^{2}-3}$，则2m²=t²+3，由③知，t＞0，
∴$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{2{m}^{2}-3}}{1+2{m}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}t}{4+{t}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}$，
∵t＞0，∴t+$\frac{4}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$=4，当且仅当t=2时取等号，
∴S_△AOB=g（t）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即△AOB面积最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
此时，2m²=7，∴m=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
相应的直线l的方程为±$\frac{\sqrt{14}}{2}$y=x+2，
即为2x-$\sqrt{14}$y+4=0或2x+$\sqrt{14}$y+4=0．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率，点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式求最值和换元法，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题．