Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{cosB-2cosA}{cosC}$=$\frac{2a-b}{c}$
（1）求$\frac{a}{b}$的值；
（2）若角A是钝角，且c=3，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinA=2sinB，由正弦定理可求$\frac{a}{b}=2$．
（2）由已知及余弦定理可得$b＞\sqrt{3}$，利用三角形两边之和大于第三边可得b＜3，即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理∵sinCcosB-2sinCcosA=2sinAcosC-sinBcosC，
∴sinCcosB+sinBcosC=2（sinCcosA+sinAcosC），
∴sin（B+C）=2sin（A+C），
∵A+B+C=π，
∴sinA=2sinB，
∴$\frac{a}{b}=2$．…．（5分）
（2）由余弦定理可得：$cosA=\frac{{{b^2}+9-{a^2}}}{2b•3}=\frac{{{b^2}+9-4{b^2}}}{18b}=\frac{{9-3{b^2}}}{18b}＜0$，
∴$b＞\sqrt{3}$，①…（8分）
∵b+c＞a，
∴b+3＞2b，
∴b＜3，②…（10分）
由①②得b的范围是$（{\sqrt{3}，3}）$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理以及三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了转化思想，属于基础题．