Question

10．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2017，则不等式e^xf（x）＞e^x+2016（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （-∞，0）∪（0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （2016，+∞）
• D． （-∞，0）∪（2016，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-e^x，则可判断g′（x）＞0，故g（x）为增函数，结合g（0）=2016即可得出答案．

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-e^x，则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，e^x＞0，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴g（x）是R上的增函数，
又g（0）=f（0）-1=2016，
∴g（x）＞2016的解集为（0，+∞），
即不等式e^xf（x）＞e^x+2016的解集为（0，+∞）．
故选B．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，构造函数g（x）是解题的关键，属于中档题．