Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=BC=2a，AC=2$\sqrt{3}$a，E的PA的中点．
（Ⅰ）求证：平面BED⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC∩BD=O，证明AC⊥平面BED，即可证明平面BED⊥平面PAC；
（Ⅱ）点E到平面PBC的距离=点O到平面PBC的距离，作OF⊥BC，垂足为F，证明OF⊥平面PBC，即可求出求点E到平面PBC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，则EO∥AC，AC⊥BD，
∵PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，
∵AC⊥平面ABCD，
∴AC⊥EO，
∵BD∩EO=O，
∴AC⊥平面BED，
∵AC?平面PAC，
∴平面BED⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：点E到平面PBC的距离=点O到平面PBC的距离，
作OF⊥BC，垂足为F，
∵PC⊥平面ABCD，OF?平面ABCD，∴PC⊥OF，
∵BC∩PC=C，∴OF⊥平面PBC
∵AB=BC=2a，AC=2$\sqrt{3}$a，∴∠ABC=120°，
∴O到BC的距离为OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即点E到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

点评 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．