Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$于P点，若$\frac{|PF|}{|AB|}$的最小值为$\frac{b}{a}$，试求椭圆C率心率e的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：2c=2，2a=4，b²=a²-c²，解得a，b即可．
 （2）设直线l的方程，A，B，P坐标，|PF|=$\frac{{b}^{2}}{c}\sqrt{1+{m}^{2}}$．联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（b²m²+a²）y²+2mcb²y-b⁴=0．|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2a{b}^{2}（1+{m}^{2}）}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．$\frac{|PF|}{|AB|}$=$\frac{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}{2ac\sqrt{1+{m}^{2}}}$≥$\frac{b}{a}$．即可求得椭圆C率心率e的取值范围

解答 解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b²=a²-c²，解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设直线l的方程为：x=my+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．P（$\frac{{a}^{2}}{c}，-\frac{{b}^{2}m}{c}$）
|PF|=$\frac{{b}^{2}}{c}\sqrt{1+{m}^{2}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（b²m²+a²）y²+2mcb²y-b⁴=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{2mc{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{-{b}^{4}}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2a{b}^{2}（1+{m}^{2}）}{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．
∴$\frac{|PF|}{|AB|}$=$\frac{{b}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}{2ac\sqrt{1+{m}^{2}}}$≥$\frac{b}{a}$．
令$\sqrt{1+{m}^{2}}=t，t≥1$，⇒b²t²-2cbt+c²≥0，
上式在t≥1时恒成立，∴椭圆C率心率e的取值范围为（0，1）

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查三点共线的方法：斜率相等，属于中档题