Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且b=1，则a=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知整理可得：b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可求cosA，结合范围A∈（0，π），可得A，利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理即可求a的值．

解答 解：在△ABC中，∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
∴整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$，
∵b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴解得：c=2，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．